《橢圓的标準方程》選于《數學》拓展模塊（人民教育出版社）第二章第一節，橢圓是圓錐曲線的一種，它是繼學習了直線和圓的方程後，進一步利用坐标法研究和解決曲線問題。本節課的學習方法對本章具有向導和引領的作用，為後續學習雙曲線、抛物線提供了基本模式和理論基礎，它起到了一個承上啟下的重要作用，是本章也是整個解析幾何部分的重要基礎知識。
針對橢圓的标準方程這堂課，由于方程的一系列的推導和論證顯得枯燥無味，對于學生來說不僅理解困難且容易遺忘，在傳統教學中帶有圖形的教學也往往都被固定在黑闆和紙上，都是靜态的，不僅費時費力，又不能動态地呈現橢圓的整個形成過程，再加上中職學生自身的邏輯思維能力和想象能力不強，學生很難從本質上真正理解橢圓。而随着多媒體的出現，傳統教學的這些不足，得到了很大程度上的彌補，多媒體能夠将文本、圖像、動畫、聲音等有機結合起來，為課堂教學創設适當情境，能夠激發學生的興趣，從而增強課堂教學效果。在本課教學中，結合PPT、Camtasia、Geogebra畫闆及flash等工具制作了橢圓的标準方程的微課和課件，利用課件直觀、形象地向學生展示知識的形成過程，更好地完成教學目标。除了多媒體技術，在課中也加入了學生動手實驗的活動，讓學生親自體驗橢圓的形成過程，然後再通過Geogebra畫闆驗證結論的正确性。一方面可以幫助學生自主探究知識，另一方面又能很好地激發學生的學習興趣及積極性。
結合以上分析，為了使學生更主動地參加到課堂教學中，培養學習思維能力，本節課采用自主探究法，即“創設情境—動手實驗—提出問題—引導探究—歸納抽象—總結規律”，同時借助多媒體輔助教學，提高學生的學習興趣，達到較好的教學效果。
二、教學設計及實施
1.教學目标
理解并掌握橢圓的定義及标準方程；會根據橢圓标準方程寫出橢圓焦點坐标；能根據條件确定橢圓的标準方程；培養學生數形結合思想、類比、分類讨論思想，培養學生學習數學的興趣，讓學生體會數學的理性和嚴謹。
2.教學重難點
重點：橢圓的定義及橢圓的标準方程的兩種形式。
難點：橢圓标準方程的推導與化簡；坐标法的應用。
3.教學過程
課前預習：課前給學生提供橢圓的定義的微課視頻，初步了解橢圓的形成過程和橢圓的定義。
（1）創設情境，概念引入。
師：首先，請同學們回想一下，你見過橢圓嗎？生活中有哪些常見橢圓？
（2）動手實驗，形成概念。
讓學生拿出課前準備好的細繩、白紙和鉛筆，指導同桌之間相互合作，借助微課、Geogebra畫闆提示畫法體驗畫橢圓的過程，并以此了解橢圓所具有的特征。并思考以下幾個問題：
問題1：畫圖過程中，哪些是固定不動的？哪些運動變化的？
問題2：畫圖過程中，繩子長度有沒有發生變化？
問題3：假設繩子長度為2a，那麼P點滿足怎麼的條件呢？
問題4：那麼是否P點滿足以上的條件就能畫出橢圓呢？
借助Geogebra畫闆演示（分三種情況說明動點軌迹）
師：如果将焦點放在y軸上，橢圓的方程又該如何？
引導：①可以讓學生猜想焦點在y軸上的方程會如何？
②類比焦點在x軸上的橢圓方程，如何去推導？
③觀察可以發現，兩者隻要交換坐标軸就可以了。（4）橢圓方程的特點（對比）
問題1：觀察兩個标準方程的結構特征，有哪些共同點？
問題2：确定橢圓的方程需要幾個參數？它們之間滿足什麼關系？
問題3：給定橢圓的标準方程，如何判斷焦點位置？
（5）例題解析。
例：求适合條件的橢圓的标準方程：兩焦點的坐标分别是（-4，0）、（4，0），橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于10。分析：确定橢圓的标準方程關鍵是确定方程的形式及a、b的參數，因此可以采用待定系數法，先根據已知條件設出方程的形式。
三、課列分析
本節課主要采用自主探究的方式進行教學，并利用多媒體技術（如微課、Geogebra畫闆、PPT、Flash等）加以輔助，讓學生真正參與到學習中去，去享受知識生成的樂趣。通過這次課，發現自主探究的教學方式和多媒體的運用，對高效教學有很多促進作用，主要體現在以下幾個方面：
1.實踐活動在自主探究中的作用
相比于其他學科，數學的知識過于公式化、概念化、抽象化，因此給學生的第一感覺是枯燥乏味，很難激起學生對學習數學的興趣。而實踐活動恰恰是學生所喜歡的一種學習形式，根據這節課的特點，創設一個畫橢圓的實踐活動，讓學生在一個活躍、歡快的氛圍中主動地去感知、探索橢圓的形成過程；活動中設置了同桌協作完成整個活動過程，這也是學生自主學習主要形式，不僅了培養學生的合作能力，也能夠通過相互的交流，更好的理解實驗的意義。
2.多媒體技術對自主探究的輔助作用
教師常常有這樣的體會，傳統教學當中畫圖的過程比較繁瑣，需要在黑闆上完成，不僅耗時，準确度也不高，同時也不能動态地反應圖像的形成過程，往往為了完成學期的教學進度，不得不進行灌輸式的教學。多媒體的運用正好解決了這一矛盾，借助多媒體不僅能形象直觀展示知識的形成過程，同時也節省許多時間，使得課堂容量也得到一定增加，緩解了因為進度産生的矛盾，也為增加學生動手實驗活動環節提供了足夠時間。
首先，微課在課堂教學中的重要作用。之所以制作橢圓的定義這節微課，主要有以下幾個原因。
（1）激發學習興趣，相比傳統教學，微課的形式更加生動有趣，更能激發學生的學習興趣，提高學習效果。
（2）推動分層教學，學生可以根據自身的基礎和理解能力，控制播放速度，反複觀看和學習，達到掌握知識的目的。
（3）方便同步教學，在橢圓的教學中，有些内容在課堂中無法很好地呈現，而通過微課則可以更直觀、動态的解決這些問題。
從技術層面上，應用了不同的軟件實現了最優化的輔助效果，在吸引學生興趣的同時，能夠很好地理解視頻所表達的知識，理解并掌握它。當然，通過這次微課的應用也給予我一些反思，對微課的再認識。微課的目的到底是什麼，往往目前的現狀大部分院校的微課都是為了比賽而制作的，而真正的應用卻很少；微課成為将來的一個趨勢，但是不是任何知識都适合做成微課呢？這都值得我們思考。不論是怎樣的技術或者方法，目的都是向學生傳授知識，不論是否制作微課、微課是否華麗，隻要能夠在有效的時間内使學生掌握知識，我覺得就是成功的。其實我們更多的是應該關注教學的有效性，這一點我覺得可汗學院的微課是一個很好的例子，微課隻是其教學的一部分，隻是輔助教學。因此微課并不是你的微課的軟件多，技術新就是好的，是否适合學生的學習才是我們重點考慮的内容。
其次，多媒體課件在教學中的作用。
第一，在課件中，通過圖片、天體運動的flash動畫等展示，感受生活中橢圓，體會研究橢圓的必要性。
第二，Geogebra畫闆的應用，借助GeoGebra畫闆強大的作圖和動态演示功能再現了橢圓的形成過程，一可以驗證學生在實踐環節的正确性，二可以更形象直觀地反映的橢圓的形成過程，讓學生體會橢圓上的點的運動規律，在教師的引導下，自主探究其形成的條件。
第三，在方程的推導過程中，建系是其中的一個難點，借助課件的動态變化，展示不同位置的建系方式，讓學生讨論并感受它們的區别，自主尋找使方程最簡單的建系方法，解決一個學生理解上的難點。
當然，多媒體課件隻是輔助，它應該服務于課堂，而不是課堂的主體，切記為了課件的華麗忽視教學的本質。
3.問題對引導自主探究的作用
新課标中強調學生的主體參與、探究學習，通過問題的提出，能夠引導學生參與問題的思考。問題是課堂的指示燈，它指引學生思考的方向，同時培養學生的探究意識、分析問題和解決問題的能力，我想這種能力比學會某個數學知識點更為重要。
本節課在不同環節設置不同層次的問題，逐步引導學生探究知識的形成。在橢圓的形成過程中，結合實驗環節，設置4個問題，逐步探究橢圓的形成過程和滿足的條件，這樣給學生一個探究和思考的方向，也更易于理解橢圓的本質。為了更好地記憶和理解橢圓的标準方程，通過3個問題的引導學生觀察方程的不同特點。
當然，限于中職學生的實際知識水平和能力，完全靠學生自身探究知識的本質比較困難。因此在問題的設置和教師的引導上應更加明确、更加有針對性；針對中職學生的要求，在方程推導過程中的化簡，因為學生運算能力及時間的限制，探究僅限于方法與結論，對運算過程就不做過多要求。
通過以上分析，可以看出自主探究式教學可以讓學生經曆知識的形成過程，而不僅僅是讓學生機械地接受、記憶、模仿和練習。雖然學生對橢圓标準方程的記憶和運用不十分熟練，但對其形成的過程和分析問題、解決問題的能力方面得到一定的鍛煉，我想這才是數學課應該給予學生的能力，重視學習過程比重視學習結果更重要。
（作者單位：浙江省機電技師學院）